双曲线的第一定义是由阿基米德提出的，它描述了双曲线的几何特性。双曲线的第一定义公式及推论如下：

1. **双曲线的定义**：

双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差等于常数（大于零）的点的集合。

2. **双曲线的标准方程**：

当双曲线的焦点在x轴上时，其标准方程为：

\\[ \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1 \\]

其中，\\( a \\) 是实半轴的长度，\\( b \\) 是虚半轴的长度。

3. **双曲线的性质**：

- 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是 \\( 2c \\)，其中 \\( c \\) 是焦距，满足 \\( c^2 = a^2 + b^2 \\)。

- 准线：双曲线的准线是 \\( x = \\pm \\frac{a^2}{c} \\)。

- 离心率：双曲线的离心率 \\( e \\) 满足 \\( e = \\frac{c}{a} \\)。

4. **推论**：

- 如果 \\( e < 1 \\)，则双曲线是椭圆。

- 如果 \\( e = 1 \\)，则双曲线是抛物线。

- 如果 \\( e > 1 \\)，则双曲线是双曲线。

这些公式和推论可以帮助我们理解和计算双曲线的各种几何特性，包括焦点、准线、离心率和与椭圆、抛物线的关系。