如果工厂改名字后，其法定名称发生了变化，那么该工厂需要重新签订新的合同，以保证合同中的相关信息与工厂实际情况一致。此外，签订新的合同也是为了保障双方权益，以防止因为名称变更而发生纠纷。需要注意的是，如果合同中有约定工厂名称的内容，则也需要进行修改和更新。总之，对于工厂改名问题，建议在签订新合同前进行确认和沟通，以避免后续的麻烦和风险。