天眼是指中国科学院国家天文台的500米口径球面射电望远镜，是目前世界上最大的单口径射电望远镜。

根据国家天文台的官方网站，天眼的开放时间为每周五至周日，早上9:00至下午4:30，但需要提前预约。

因此，天眼的开门时间为早上9:00。

这个答案得出的原因是通过查阅国家天文台官方网站得到的。

在网站上，我们可以看到天眼的开放时间和预约方式等详细信息。

此外，由于天眼是一个非常重要的科研设施，为了保证其正常运行和维护，开放时间可能会有所调整，因此建议在前往之前先查看官方网站上的最新信息。