湖南省电子社保卡中的手机号码修改方法如下：

1. 社保中心办理：

携带身份证、社保卡到参保地的社保中心柜台，向工作人员提出更改预留手机号码的申请。工作人员会协助您办理参保资料变更手续。

2. 社保官网办理：

登录当地人力资源和社会保局官网，输入您的账号和密码进行登录。在官网中找到“个人信息修改”或“手机绑定修改”选项，按照提示进行操作。

3. 微信公众号办理：

关注当地社保局的微信公众号，点击菜单栏中的“个人服务”，然后选择“社保信息查询”或“手机号码修改”，根据提示进行操作。

4. 社保自助终端机办理：

携带身份证和社保卡到社保局的自助终端机前，选择“个人信息修改”或“手机号码修改”功能，按照提示操作。

5. 手机 APP 办理：

下载并安装当地社保局推出的手机 APP，注册登录后，选择“个人信息修改”或“手机号码修改”功能，根据提示进行操作。

在办理手机号码修改时，请确保新手机号码符合相关政策要求，以免影响社保业务的办理。如有疑问，可拨打当地社保局的服务热线进行咨询。